Sztuka patrzenia na cienie. O badaniach dr. Damiana Dąbrowskiego

Wystarczy wyobrazić sobie zasłonę, za którą stoi nieznany przedmiot i lampa. Na ekranie pojawia się cień. Gdy zaczniemy obracać obiekt, zobaczymy coraz to nowe kształty – projekcje jego fragmentów. Z ilu takich rzutów można odtworzyć oryginalny kształt? I jak dokładnie? To pytania, które od blisko stu lat fascynują matematyków

– Rzuty to matematyczne odpowiedniki cieni. Badamy obiekty, które mogą być niezwykle skomplikowane, i próbujemy ustalić, co da się o nich powiedzieć, patrząc wyłącznie na ich cienie pod różnymi kątami – wyjaśnia dr Damian Dąbrowski, który dołącza do Instytutu Matematycznego PAN.

Tego typu problemy należą do obszaru zwanego geometryczną teorią miary – działu analizy matematycznej badającego złożone kształty i przestrzenie za pomocą narzędzi służących do mierzenia ich wielkości. W praktyce chodzi o precyzyjne opisanie związku między kształtem, rozmiarem i sposobem, w jaki obiekt „rzuca cień” w różnych kierunkach.

Od baniek mydlanych do cyfrowych zegarów słonecznych

Choć brzmi to jak czysta teoria, wiele pomysłów z tej dziedziny znalazło zaskakujące zastosowania.

– Jednym z klasycznych problemów, które udało się rozwiązać dzięki narzędziom geometrycznej teorii miary, był problem Plateau. Chodziło o opis kształtu bańki mydlanej rozpiętej na druciku – mówi badacz. – Innym przykładem jest twierdzenie o cyfrowym zegarze słonecznym, które pokazuje, że można tak zaprojektować kształt, by jego cień – przesuwając się wraz ze Słońcem – wyświetlał cyfrową godzinę.

Właśnie taka matematyka – jednocześnie abstrakcyjna i niezwykle obrazowa – stanowi punkt wyjścia do badań Dąbrowskiego.

Trzy hipotezy i jedno pytanie

W centrum jego projektu QPROJECT znalazły się trzy fundamentalne, wciąż otwarte problemy: hipoteza Wituszkina z 1967 r. dotycząca zbiorów „niewidocznych” dla funkcji analitycznych; hipoteza Besicovitcha – opisuje rzuty radialne, czyli cienie rozchodzące się promieniście od jednego punktu oraz hipoteza widoczności z geometrii fraktalnej dotycząca tego, jak bardzo „widać” złożone struktury pod różnymi kątami.
Wszystkie trzy sprowadzają się do jednego pytania: jak dużo informacji o kształcie można odzyskać z jego cienia.

Dr Dąbrowski nie szuka tu tylko odpowiedzi jakościowych. Celem projektu jest stworzenie ilościowych wersji klasycznych twierdzeń, które nie tylko opiszą zjawisko, ale też pozwolą je zmierzyć. Do tego potrzebne będą nowe narzędzia analityczne i właśnie na tym etapie badania wspiera go Europejska Rada ds. Badań Naukowych (ERC), która przyznała mu pięcioletni Starting Grant.

Matematyka z oddechem

– Taki grant daje przede wszystkim czas i spokój – mówi dr Dąbrowski. – Nie ma presji, by natychmiast pisać kolejne wnioski. Można skupić się na dużych, długofalowych pytaniach.

Projekt potrwa od października 2025 do września 2030 r. Jego gospodarzem będzie Instytut Matematyczny PAN w Warszawie. W zespole znajdą się trzej postdocy i doktorant.

To dopiero trzeci grant ERC w historii instytutu – po projektach INDEX prof. Piotra Nowaka i KAPIBARA prof. Piotra Achingera. Wszystkie należą do panelu matematycznego PE1 i są jedynymi tego typu projektami w Polsce.

– To ogromne wyróżnienie, ale i nowe obowiązki – przyznaje badacz. – Do tej pory byłem postdociem, teraz to ja będę rekrutował postdoców i doktoranta. Trzeba będzie nauczyć się roli mentora.

Matematyka jako forma sztuki

Dr Dąbrowski podkreśla, że matematyka jest w dużej mierze twórczością: – W pracy matematyka jest coś bardzo podobnego do pracy artysty. Potrzeba inspiracji, pomysłu, czasem olśnienia. Przełom często przychodzi w najmniej spodziewanym momencie. Na przykład w pociągu, w podróży, po rozmowie z kimś z zespołu.

– To frustrująca praca – przez długi czas nic się nie udaje. Ale gdy w końcu uda się zrobić krok naprzód, satysfakcja jest ogromna.

A jak uczyć matematyki?– Kreatywność i rozwiązywanie problemów to jej istota. Ale żeby dojść do poziomu abstrakcji, trzeba znać podstawy. To trochę jak wchodzenie po schodkach. Zanim zacznie się biegać po najwyższych, trzeba przejść te pierwsze.

Matematyka zawsze była jego najmocniejszą stroną, choć – jak mówi – nigdy nie planował kariery naukowej. – Poszedłem na studia z ciekawości. A potem okazało się, że praca nad problemami, których nikt wcześniej nie rozwiązał, daje największą satysfakcję.

Dziś celem dr Damiana Dąbrowskiego jest przekształcenie tej ciekawości w nową wiedzę o świecie – wiedzę, którą da się wyczytać z cienia.

• Nauki ścisłe i nauki o Ziemi