Co pozostało do odkrycia w matematyce? Prof. Kołodziej laureatem Medalu im. Banacha

Matematyka uchodzi za dziedzinę, w której wszystko już dawno wymyślono. Dla prof. Sławomira Kołodzieja to jeden z najczęstszych i najbardziej mylących mitów. – Są nadal problemy otwarte. Nadal jest wiele hipotez, za których rozwiązanie można dostać milion dolarów – mówi. Za osiągnięcia w analizie zespolonej i teorii równania Monge’a-Ampère’a profesor został w tym roku uhonorowany Medalem im. Stefana Banacha, najważniejszym polskim wyróżnieniem w dziedzinie matematyki

Prof. Kołodziej w matematykę wciągnął się już w liceum przez olimpiady. – Rozwiązanie trudnych zadań daje satysfakcję – wspomina. Ta motywacja nie zniknęła. – To nie jest łamigłówka, ale daje podobne poczucie radości. Kiedy wymyśli się coś oryginalnego, to naprawdę cieszy.

Matematyka wymaga ponoć kreatywności bliskiej sztuce. – To jest decydujące. W nauce są prace, które coś uzupełniają, ale są też takie, które zawierają całkowicie nowi idee. I te są najlepsze – mówi.

Profesor specjalizuje się w analizie zespolonej – dziedzinie badającej funkcje wielu zmiennych zespolonych, czyli takich, które nie działają w prostych wymiarach, ale w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów niż trzy. Jego najważniejsze osiągnięcia dotyczą równania Monge’a-Ampère’a, jednego z centralnych równań współczesnej geometrii.

Od piachu do geometrii

Początek historii dotyczącej tego równania jest zaskakująco przyziemny. Francuski inżynier Gaspard Monge w XVIII w. chciał rozwiązać problem, jak przetransportować materiał z jednego miejsca w drugie, żeby koszt był jak najniższy. Tak narodził się problem optymalnego transportu. 

Monge był nie tylko uczonym, ale też aktywnym uczestnikiem rewolucji francuskiej – współtworzył École Polytechnique i wierzył, że matematyka ma służyć społeczeństwu, gospodarce i armii, a problem postawiony przez niego okazał się kluczowy m.in. dla logistyki armii Napoleona.

Z problemu transportowego powstało równanie różniczkowe, które opisuje sposób przemieszczania masy przy zachowaniu najmniejszego kosztu. Później André-Marie Ampère rozszerzył je na bardziej ogólne przypadki, a matematycy znaleźli dla niego zastosowania w wielu dziedzinach. Dziś równanie Monge’a-Ampère’a opisuje między innymi kształt powierzchni optycznych, geometrię soczewek i luster, przepływ gazów w atmosferze, a także przekształcenia w modelowaniu komputerowym. W informatyce i sztucznej inteligencji służy do „dopasowywania” rozkładów danych, na przykład w uczeniu maszynowym i analizie obrazu.

– W mojej pracy rozważamy to równanie w zmiennych zespolonych. To znaczy, że zamiast jednej płaszczyzny mamy do czynienia z wielowymiarową przestrzenią, w której badamy krzywizny – tzw. krzywiznę Ricciego. Chodzi o znalezienie takich „powierzchni”, które mają zadane własności geometryczne – wyjaśnia profesor.

To równanie pojawia się w geometrii Kählera i w teorii strun – jednym z najbardziej zaawansowanych obszarów fizyki teoretycznej. Kołodziej zajmuje się jego stroną czysto analityczną: bada istnienie, regularność i granice rozwiązań. Jego praca habilitacyjna z końca lat 90. stała się punktem odniesienia w tej dziedzinie. W 2014 r. otrzymał za nią Nagrodę Stefana Bergmana.

Praca matematyka

Matematyk nie potrzebuje laboratorium. Czasem wystarczy cisza i kartka papieru. – Zatrudniony jestem w Krakowie, a mieszkam w Bielsku, więc przyjeżdżam raz w tygodniu na zajęcia, a pracuję w domu – mówi profesor. Samotność bywa pozorna. Coraz więcej badań powstaje w zespołach. – Coraz rzadziej publikowane prace mają jednego autora. Dyskusje z innymi dają bardzo dużo. A czasem pomysł  i tak pojawia się dopiero po tygodniach albo miesiącach.

Zdarza się, że decydujący moment przychodzi w najmniej spodziewanym momencie. – Kiedyś po rozmowie z kolegami kluczowy dla rozwiązania problemu pomysł przyszedł mi do głowy na lotnisku, podczas długiego oczekiwania na samolot. To bywa tak nieprzewidywalne jak sama matematyka.

Choć wiele matematycznych teorii liczy setki lat, dziedzina nie stoi w miejscu. W ostatnich dekadach rozwiązano problemy, które wydawały się nierozwiązywalne, jak Wielkie Twierdzenie Fermata czy hipotez Poincarégo. Lista otwartych pytań wciąż jest długa. 

– Matematyka ewoluuje. Powstają nowe teorie, często zainspirowane praktyką, jak teoria grafów, która kiedyś była marginesem, a dziś jest podstawą informatyki i internetu – mówi prof. Kołodziej. Przyznaje, że zachęca młodych do matematyki, ale nie ma złudzeń co do jej masowej popularności. – Zainteresowanych zawsze jest pewien stały procent społeczeństwa. Ważne, by ci, których to naprawdę wciąga, mieli gdzie się rozwijać.

Nagroda jako przypomnienie

Medal im. Stefana Banacha, przyznawany przez Polską Akademię Nauk od 1992 r., trafia do osób o wybitnym wkładzie w rozwój matematyki. Na liście laureatów są m.in. William T. Gowers, Michel Talagrand, Henryk Iwaniec i Stanisław Woronowicz. W 2025 r. dołącza do nich Sławomir Kołodziej.

– Byłem kompletnie zaskoczony, że dostałem medal. Wiem, kto otrzymywał go wcześniej, więc to duży zaszczyt – przyznaje.

• Nauki ścisłe i nauki o Ziemi
• Polska Akademia Nauk