Dlaczego jedni matematycy wolą abstrakcyjne teorie, a inni potrzebują konkretnych przykładów? Skąd bierze się satysfakcja z rozwiązania problemu, nad którym inni pracowali przez dwadzieścia lat? O kombinatoryce, współpracy i zawodzie, w którym działa jeden pomysł na sto, rozmawiamy z Maciejem Dołęgą, profesorem Instytutu Matematycznego PAN.

Academia: Większości ludzi matematyka kojarzy się przede wszystkim ze szkołą. Kiedy dla pana stała się czymś więcej niż przedmiotem i pojawiła się myśl, że chciałby się pan nią zajmować przez resztę życia?

Dr hab. Maciej Dołęga: Mniej więcej w szkole średniej. Miałem wtedy dwa główne zainteresowania: matematykę i muzykę. Były na tyle różne, a jednocześnie równie ważne, że długo nie wiedziałem, co chcę robić po maturze. Uruchamiają zupełnie inne obszary myślenia, chociaż ludzie często próbują je ze sobą porównywać. Uznałem, że jeśli wybiorę zawodową drogę matematyka, nic nie stoi na przeszkodzie, żebym nadal zajmował się muzyką. W drugą stronę wydawało mi się to raczej niemożliwe. Trudno zostać zawodowym muzykiem, a matematykę naukową uprawiać sobie po godzinach.

Ktoś, kto ma smykałkę do przedmiotów ścisłych, może wybrać fizykę, informatykę albo ekonomię. Dlaczego wszedł pan akurat w matematykę?

Matematyka, w przeciwieństwie do wielu innych nauk, nie zajmuje się bezpośrednio opisem namacalnego świata. W starożytności nie klasyfikowano jej zresztą jako nauki, tylko jako sztukę. Może więc nie jest takie dziwne, że fascynowały mnie jednocześnie matematyka i muzyka?

Fizyka w szkole średniej nie pociągała mnie szczególnie. Trochę przeszkadzało mi, że próbuje opisywać świat, a ten opis jest zawsze niedoskonały. Najpierw poznajemy teorię, a potem okazuje się, że ona nie do końca działa, bo trzeba przyjąć wiele założeń. Rzeczywistość nigdy nie jest przecież idealna.

Matematyka jest pod tym względem inna. W ramach swojej abstrakcyjnej struktury opisuje rzeczy w sposób doskonały: coś jest prawdziwe albo nie. Nie próbuje przy tym na siłę twierdzić, że doskonale odwzorowuje jakieś zjawisko zachodzące w świecie. Oczywiście fizyka korzysta z matematyki, bo jest ona najlepszym narzędziem, jakie mamy do opisywania rzeczywistości. Matematycy interesują się jednak często zupełnie abstrakcyjnymi problemami.

Te abstrakcyjne problemy nie biorą się chyba znikąd.

Oczywiście, że nie. Nawet najbardziej abstrakcyjna matematyka jest w jakiś sposób inspirowana światem, który nas otacza, w dużej mierze fascynującymi obserwacjami fizyków Nie możemy brać pomysłów z próżni. Ta abstrakcja zazwyczaj wyrasta bezpośrednio z próby zrozumienia bardzo konkretnego zjawiska, ale jest niezwykle użyteczna i nieraz dostarcza fizykom narzędzia którego im wcześniej brakowało. Ostatecznie wszystko, co badamy, wyrasta z tego, co jesteśmy w stanie zaobserwować i przemyśleć.

Dlaczego spośród całej matematyki wybrał pan właśnie kombinatorykę?

Na studiach zaczynamy odkrywać, że nie wszyscy matematycy mają takie same zainteresowania i uzdolnienia. Jedni mają naturalną predyspozycję do jednego rodzaju problemów, inni do zupełnie innego. Ja zauważyłem, że myślę w sposób bardzo kombinatoryczny. Kiedy próbuję zrozumieć abstrakcyjną teorię, muszę sprowadzić ją do czegoś konkretnego: zestawu zasad albo zależności, które mogę, mówiąc obrazowo, złapać za rękę. Muszę zacząć od przykładów, znaleźć prosty opis i dopiero później przejść do ogólnej teorii. Kombinatoryka pojawiła się więc dość naturalnie, bo po prostu odpowiada sposobowi, w jaki lubię myśleć.

Jak wytłumaczyłby laikowi, czym właściwie zajmuje się pan na co dzień?

Zacząłbym od tego, że kombinatoryka jest bardzo szeroką dziedziną. Ludziom często kojarzy się z teorią grafów: mamy kropki, kropki są połączone kreskami i badamy powstałą w ten sposób strukturę. To rzeczywiście jest kombinatoryka, ale nie ta, którą ja się zajmuję.

Pracuję przede wszystkim w kombinatoryce algebraicznej. W Polsce jest ona mniej popularna, ale na przykład w Stanach Zjednoczonych to bardzo duża dziedzina. W wielu obszarach matematyki mamy skomplikowaną, mocno abstrakcyjną teorię. Żeby ją zrozumieć, próbujemy znaleźć najprostsze elementy, z których jest zbudowana, oraz reguły mówiące, w jaki sposób mogą się one ze sobą łączyć.

Lubię porównywać to do klocków Lego. Mamy ograniczoną liczbę kształtów, a jednak możemy z nich zbudować niemal wszystko. Podobnie w matematyce: nawet bardzo skomplikowana teoria może być zbudowana z niewielkiej liczby podstawowych „klocków”. Trzeba tylko odkryć, jakie to klocki i jakie zasady rządzą ich łączeniem.

Kombinatoryka, którą się zajmuję, jest często motywowana problemami pochodzącymi z innych dziedzin: teorii reprezentacji, rachunku prawdopodobieństwa czy fizyki statystycznej. Pytanie nie musi więc wcale należeć do kombinatoryki, ale kiedy próbujemy na nie odpowiedzieć, okazuje się, że tym światem rządzą proste, kombinatoryczne reguły. Skomplikowany końcowy obraz wynika z połączenia skończonej liczby obiektów w bardzo konkretny sposób.

Podczas pobytu w Paryżu rozwiązał pan problem, z którym matematycy nie potrafili sobie poradzić przez prawie 20 lat. Jak to jest odkryć coś, czego przez tyle czasu nie odkrył nikt inny?

W matematyce często zajmujemy się problemami, nad którymi ktoś już wcześniej myślał. Jeżeli wiele osób interesowało się danym problemem, jest to pewne potwierdzenie, że problem rzeczywiście jest ciekawy. Można przecież spędzić lata nad czymś, co nikogo poza nami nie obchodzi, ale raczej nie chcielibyśmy tego robić.

Mocno korzystamy z tego, co wcześniej zauważyli inni. Każdy matematyk dokłada jednak coś od siebie. Czasem właśnie ten jeden dodatkowy pomysł sprawia, że problem, który przez wiele lat pozostawał nierozwiązany, nagle udaje się rozgryźć. To daje ogromną satysfakcję! Ale matematyka bywa też  frustrującą dziedziną. Czasem działa może jeden pomysł na sto. Przez większość czasu ponosimy więc porażki. Próbujemy czegoś, to nie działa, zastanawiamy się dlaczego, coś zmieniamy, a potem okazuje się, że nadal nie działa. I tak krok po kroku dochodzimy do chwili, w której w końcu się udaje.

A potem można świętować?

Przez chwilę. Problem jest rozwiązany, więc trzeba znaleźć następny. Zazwyczaj nawet nie trzeba ich szukać – często droga do rozwiązania oryginalnego problemu to jednocześnie proces w którym naturalnie odkrywamy jeszcze ciekawsze problemy. I znowu przez długi czas nic nie będzie działało. To trochę jak gra w szachy: cały czas myślimy, że to jeszcze nie koniec, że trzeba wykonać kolejny ruch. A kiedy rzeczywiście jest koniec, zaczynamy nową partię.

W wyobraźni wielu osób matematyk pracuje samotnie. Jak to wygląda w rzeczywistości?

Kulturowo, szczególnie w Polsce i szerzej w Europie Środkowo-Wschodniej, matematycy rzeczywiście długo pracowali samotnie, ewentualnie z jedną osobą. Ja natomiast nie lubię robić matematyki sam. Zauważyłem, że jestem znacznie bardziej produktywny, kiedy mam jedną albo dwie osoby, z którymi mogę rozmawiać o pomysłach. Mam bardzo niewiele samodzielnych prac.

Oczywiście dużo zależy od charakteru. Wielu matematyków to osoby skryte, które po prostu wolą pracować samotnie. Matematyka im to umożliwia, w przeciwieństwie do dziedzin, w których praca w dużym zespole jest nieunikniona. Wydaje mi się jednak, że to się zmienia. Coraz więcej osób dostrzega, że pracując razem, możemy osiągnąć znacznie więcej.

Co daje taka współpraca?

Bardzo fascynuje mnie to, że coś, co dla mnie jest banalne, dla kogoś innego może być bardzo trudne i odwrotnie. Każdy z nas myśli trochę inaczej. Rzeczy, które jednej osobie wydają się proste i naturalne, dla drugiej mogą być zupełnie nieoczywiste. Kiedy pracujemy w grupie, te różnice się uzupełniają. Dlatego coraz częściej powstają zespoły dwu-, trzy-, a nawet czteroosobowe.

Ma pan za sobą doświadczenia z polskich, francuskich i amerykańskich ośrodków. Czy matematykę uprawia się tam w różny sposób?

Wydaje mi się że różni się sposób, w jaki ludzie rozmawiają o matematyce, a to jest uwarunkowane kulturowo. W Stanach Zjednoczonych ludzie są bardzo otwarci i bezpośredni Młodym matematykom od początku mówi się, że najważniejsza jest wymiana doświadczeń z jak największą liczbą osób. Kiedy patrzę na Polskę, mam czasami wrażenie, że przez pewien czas mniej się o tym mówiło i słabiej to promowano, a hierarchia akademicka tworzy pewną barierę. Młodzi ludzie, zwłaszcza nieśmiali, czasem długo nie odważali się podejść do profesorów. Dochodziła bariera językowa, a jeśli matematyk był bardzo znany, dystans robił się jeszcze większy.

Zachęca pan młodych matematyków, żeby podchodzili do profesorów?

Zdecydowanie. Radzę im, żeby jak najwięcej rozmawiali. Dzięki temu widzą, że ludzie mogą w bardzo różny sposób myśleć o matematyce. Nabierają doświadczenia, poznają innych i budują sieć kontaktów. Nigdy nie wiadomo, kiedy w przyszłości taka znajomość okaże się ważna.

Wyrastałem w trochę innej Polsce niż ta dzisiejsza. Teraz młodzi ludzie są coraz śmielsi, szybciej wyjeżdżają za granicę i wcześniej nawiązują międzynarodowe kontakty. Różnice między matematyką kalifornijską, paryską i polską powoli się zacierają.

Jaki jest największy mit o matematykach?

Chyba taki, że jesteśmy ludźmi przypominającymi komputery: sztywnymi, zamkniętymi, zainteresowanymi wyłącznie matematyką. Można się zdziwić, jak wiele talentów mają niektórzy matematycy. Znam mnóstwo osób, które niemal półzawodowo zajmują się muzyką, malują albo uprawiają inne dziedziny sztuki. Matematycy potrafią mieć naprawdę szerokie horyzonty.

Oczywiście istnieją ludzie całkowicie odklejeni od rzeczywistości. Wśród matematyków również. Ale zdecydowanie nie jest to typowy obraz przedstawiciela tej dziedziny.

Czy matematyk patrzy na świat inaczej niż ktoś, kto matematykiem nie jest?

Matematyka na pewno nas w jakiś sposób kształtuje i sprawia, że na wiele rzeczy patrzymy trochę inaczej. Ale koniec końców nic, co ludzkie, nie jest nam obce. Problemy wynikające z ludzkiej natury w żaden sposób nie omijają matematyków.

Dr hab. Maciej Dołęga jest matematykiem i profesorem w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk, gdzie w krakowskim oddziale kieruje grupą badawczą zajmującą się matematyką dyskretną. Specjalizuje się w kombinatoryce algebraicznej i enumeratywnej oraz jej zastosowaniach m.in. w teorii reprezentacji, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii enumeratywnej i fizyce statystycznej. Doktorat obronił na Uniwersytecie Wrocławskim. Następnie pracował na Université Paris 7 oraz Uniwersytecie im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, a jako stypendysta programu Fulbrighta prowadził badania na Uniwersytecie Kalifornijskim w San Diego. Jest laureatem Nagrody Naukowej „Polityki” oraz Nagrody im. Wacława Sierpińskiego.

• Nauki ścisłe i nauki o Ziemi